每日一个学科小知识点

我们都知道，看似复杂无比的知识，在整理提炼后，都可以归纳成简单的一段话，亦或是一个简明的公式。在学习的过程中每天都会积累一些不一样的东西，那么不妨做一个简单的分享，让1+1>2吧。

知识分享范例：参考楼层回复哦

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喵の守护

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关于零的定义

数学上，对零的定义，有点奇怪，你会发现，所有的数学规律，碰上了零，都要单独考虑。
这里的任何数，可以是已知数域的最大范围（大概吧？我们暂且认为是实数范围吧）
比如我们为了满足计算需求做了给零的运算作了如下的定义：

零乘任何数都得零
任何数除以零均没有意义
零的阶乘是一
任何数的零次方等于一
……

习惯上，我们会使用一个统一的规律一以贯之所有的情况，可是你会发现这些东西遇上零就失效了
我们来研究一下上面的定义1：
实际上，乘法的诞生来自于加法
“n个a”相加我们记作“na”
然后习惯上我们将“零”看作是“没有”
于是0个a相加自然还是0。
那么定义1理解上应该没啥问题。
那么我们再来看看定义2。
谁都知道除法是乘法的逆运算，根据一个统一的规律
mn = m/(1/n)
然后这条或许适用于所有数的规律在零这里出现异常了
a0 = a(1/0) = a/0 = ?
将定义1，零乘任何数都得零倒过来，自然是
零除以任何数都得零① 这条满足定义本身，0/a = 0*(1/a)
任何数除以0得任何数② a/0 = w? 这条如果成立，整个数学的运算体系就乱套了，各种矛盾层出
于是我们不得不规定，mn = m/(1/n)，其中n≠0
然后我们知道一件事，几何原本中规定点没有大小，即大小（长度为零），同时又规定线段上有无数个点（点动成线），那么假设一条线段长度为a，我们有（其中∞为无穷大符号）
0∞ = a。
a/0 = ∞。（根据已知的性质，等式两边同时除以零或同时除以无穷大，都无法运算，这条只能根据乘除互为逆运算这个根本原理猜测出）
我们前面不是说零乘任何数都得零吗？这条扯淡推论是什么玩意儿？
别急，学过极限理论的我们同时还知道
lim(n->∞)[(a/n)] = 0（当n趋近于无穷大的时候，a除以n的极限是零）
诶？前面推出来的诡异的结果好像和这个有点儿像……
零和无穷大好像有冥冥中的一些转换关系？
无穷大的倒数是零？零的倒数是无穷大？（本来零的倒数就无意义，要不然我们强行给它一个定义？）
当然不行。很容易能够发现一些基本算数矛盾，比如违背了上面的定义1。
所以我们规定了一种全新的运算叫做极限，试图避开修改基本算数原理来解决这个问题。
前面提到了一个东西叫做无穷大，我们虽然强行将它运用在了乘法里，但是这玩意儿……无穷大是多少大？
无穷多个零相加……
为什么会有无穷这个东西？
因为有一个显而易见的事实是
(1/3)+(2/3) = 1
即0.9999... = 1
这后面的9有无穷多个。并且0.9999可以写成
(9/10)+(9/10的平方)+...(9/10的n次方) 并且这里的n=1,2,3.....∞
所以，首先，这个基本的算式告诉我们，“无穷”是客观存在的，至于它存在的形式嘛……
可能是当初人类规定算数原理的时候不够完备的副作用吧……
在学极限的时候，你会发现一个事实，无穷大和零一样奇怪，任何东西碰到无穷大，计算都要被重定义，前面我们又有一个猜测，零和无穷大有着某种转换关系……
所以……
也许当你彻底理解了零，也就能理解无穷大有多大了吧
一边是彻底的“无”，一边是彻底的“满”，二者有关联
似乎印证了中国古代对立又统一的辩证思想——矛盾在一定条件下可以互相转化。
当然这里我们不深入讨论哲学问题，上面研究了半天，我们其实都在在研究一个问题，那就是：
一个东西无限平均分后，是否会变成没有的问题。
实际上，点动成线
线动成面
面动成体
前一个维度的无穷却是下一个维度的开始，似乎也符合相对论
我们看起来是“零”的东西，无限积累，最终会促成质变
不过我们当前的算数体系有些许的局限性，不足以彻底帮助我们精确描述这种动态变化的情况
人们尝试使用极限来解决它，却也没有能够彻底解决
而这个问题，也是求圆相关问题的关键。
我们都知道圆周率是一个无限不循环小数，是一个超越数（待续）

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喵の守护

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微积分

新运算，类似加减乘除，中学根式，高中对数运算
数
函数

$y=f(x)$

微分（求导）

符号
$[f(x)]' = \frac{dy}{dx} = f'(x) = g(x)$

思考逆运算？
g(x)如何还原回f(x)

积分

$\frac{dy}{dx} = g(x)$
等式两边同时乘dx，得
$dy = g(x)dx$

规定符号
$\int dy = y$

将 $dy = g(x)dx$ 带入，得

$\int g(x)dx = f(x) + c$

我们符号f [ ] dx 叫做不定积分，作为求导的逆运算

总结

微分符号是
$\frac{df(x)}{dx}$

$d (\frac{f(x)}{dx})$

积分符号是
$\int (f(x)dx)$

f(x)先微分再积分，还是它本身或者加一个常数c

$\int(\frac{df(x)}{dx}*dx)=f(x)+c$

$\frac{d(\int f(x)*dx)}{dx}=f(x)$

注意：
不存在 d sy = y，也就是不存在sy

不定积分

$\int_{a}^{b}f(x)dx = ?$
原理：牛顿莱布尼茨公式反导数->不定积分

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